平面纯弯梁 · 横截面正应力动态仿真实验室

7.4 梁弯曲正应力

纯弯曲梁微单元扇形变形与横截面正应力分布 \(\sigma = \frac{My}{I_z}\)

平截面假定 扇形网格变形特征： 横向线保持直线并与纵向弧线正交垂直，呈扇形放射分布；纵向纤维上缩下伸，中性层弧长恒为 \(dx = \rho d\theta\)。
\(\Delta dx = y d\theta\) \(\implies\) \(\varepsilon = \frac{y}{\rho}\)
纯弯曲状态：\(F_Q = 0,\ M = \text{常数}\) 矩形截面 \(b=200\text{mm} \times h=400\text{mm}\)
💡 截面高度与宽度任意调节均实时联动几何尺度，右侧应力图支持鼠标拖动探针
探针纤维层： 受拉区 (+)
\(y =\) +120 mm | \(\sigma =\) +3.38 MPa
纤维层位置 \(y\) 探针： +120 mm

纯弯梁横截面正应力公式 · “几何·物理·静力”三步法严谨推导

土建工程力学核心理论：平截面假定（扇形变形）\(\rightarrow\) 胡克定律 \(\rightarrow\) 截面内力静力等效

实验观察与平截面假定 (扇形几何网格)

在梁的表面画上纵向平行线与横向平行网格，当梁受到纯弯矩作用发生弯曲变形时，可以清晰地观察到以下三个关键几何变形规律：

  • 微单元弯成扇形（扇环体）：变形后横向线依然保持为一直线，且始终与弯曲后的梁轴线保持垂直，各横截面只是绕某一轴相对转动了一个微小角度 \(d\theta\)，两截面法线汇交于曲率中心 \(O\)。
  • 横向线扇形辐射与纵向纤维同心圆弧：横向线间距改变，呈扇形辐射分布；纵向纤维上部缩短、下部伸长，中性层长度保持恒定。
  • 中性层与中性轴：在伸长与缩短之间，必存在一层既不伸长也不缩短的纤维层，称为中性层（Neutral Layer）。中性层与横截面的交线称为中性轴（Neutral Axis）。
纵向线应变公式推导：

设中性层的曲率半径为 \(\rho\)，截面相对转角为 \(d\theta\)，则微段原长为： \(dx = \rho d\theta\) 距离中性层为 \(y\) 的任意一层纤维，变形后长度为： \(dx' = (\rho + y) d\theta\) 其绝对伸长量 \(\Delta dx = dx' - dx = y d\theta\)。

纵向线应变 \(\varepsilon\)：
\(\varepsilon = \frac{\Delta dx}{dx} = \frac{y}{\rho}\)