7 应力强度 7.2 轴向拉压杆横截面和斜截面上的应力

一、 理论基础：平面假设

• 变形观察与实验：轴向拉压杆件的内部应力无法直接观测，因此一律由实验和变形观察出发来总结受力规律。对直圆杆两端施加轴向拉力后，杆件变长变细。观察杆件表面的刻度线发现，横向圆周线仍保持平行且与轴线垂直，而所有纵向线段的伸长量均相等。
• 平面假设（核心假设）：变形前原为平面的横截面，变形后仍然保持为平面。
• 应力分布规律：基于平面假设及材料的均匀性，杆件内部所有纵向纤维的伸长量完全相同，因而横截面上所有点处的正应力大小相等，呈均匀分布。

二、 应力计算公式与力学特性

• 计算公式：由于正应力在横截面上均匀分布，横截面上任意一点的正应力 $\sigma$ 均等于平均正应力：
  $\sigma = \frac{F_N}{A}$
  • $F_N$：横截面上的轴力。
  • $A$：横截面的净面积。
• 三大核心力学特性：
  1. 轴向拉压杆横截面上只有法向的正应力，没有切应力。
  2. 正负号规定：正应力的正负号与轴力一致。拉应力为正（+），压应力为负（-）。
  3. 公式适用范围限制：该公式基于平面假设，但在外力加载截面附近的局部区域是不满足平面假设的，其应力并非均匀分布。在工程力学中，除特别说明外，横截面上的正应力一律视为均匀分布。

三、 典型工程案例解析（三角托架）

• 结构受力特征：节点 $B$ 受集中力作用，汇交连接的直杆 $AB$ 和 $BC$ 均为二力杆。
• 内力与应力计算步骤：
  1. 取节点 $B$ 为分离体，列静力平衡方程求得两杆轴力：
     • $F_{N,AB} = 100\text{ kN}$（拉力，杆为拉杆）。
     • $F_{N,BC} = -86.6\text{ kN}$（压力，杆为压杆）。
  2. 代入应力公式 $\sigma = \frac{F_N}{A}$ 求解各杆横截面正应力：
     • 钢杆 $AB$（直径 $30\text{ mm}$）：
       $\sigma_{AB} = \frac{100\text{ kN}}{A_{AB}} = \frac{100 \times 10^3\text{ N}}{\frac{\pi \times 30^2}{4}\text{ mm}^2} = 141.5\text{ MPa}$
     • 木杆 $BC$（边长 $100\text{ mm}$）：
       $\sigma_{BC} = \frac{-86.6\text{ kN}}{A_{BC}} = \frac{-86.6 \times 10^3\text{ N}}{100 \times 100\text{ mm}^2} = -8.66\text{ MPa}$

💬 思考

本节课我们提到，在“外力加载截面附近的小部分区域”并不满足平面假设，其真实的应力分布是不均匀的。

请同学们结合这一力学事实，思考并回答以下问题：

1. 为什么在靠近外力作用点（加载端）的截面上，应力分布无法保持均匀？
2. 如果我们在设计这些局部连接区域（如螺栓连接处、吊装挂钩处）时，依然盲目套用 $\sigma = \frac{F_N}{A}$ 来计算其应力，可能会给工程结构的安全带来什么潜在的隐患？

(请在讨论区留下你的看法，尝试从“局部应力集中”的角度进行逻辑分析。)