7 应力强度 7.7 梁的应力及强度计算

纯弯曲与横力弯曲
- 纯弯曲：梁段上剪力为零，弯矩为常数的弯曲变形。
- 横力弯曲（剪力弯曲）：梁段上既有剪力又有弯矩的弯曲变形。
纯弯曲时的变形假设
- 平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且与变形后的轴线垂直，只是绕中性轴旋转了一个微小角度。
- 纵向纤维间无挤压假设：相邻纵向纤维层之间无横向挤压，每根纤维均处于单向拉伸或压缩状态。
几何要素
- 中性层：梁内部在变形前后长度保持不变的纤维层。
- 中性轴：中性层与横截面的交线。梁发生弯曲变形时，截面绕中性轴转动。中性轴是截面的形心主轴，它确定了截面弯曲转动的物理核心位置。

计算公式
在材料线弹性工作范围内，横截面上任意一点的弯曲正应力 $\sigma$ 计算公式为：
$\sigma = \frac{M}{I_z} y$
- $M$：预求点所在横截面上的弯矩。
- $I_z$：横截面对中性轴 $z$ 的惯性矩。
- $y$：所求点到中性轴的垂直距离。
分布规律
- 线性分布：在同一横截面上，弯曲正应力沿梁高呈线性规律分布。
- 正应力特征：中性轴上各点正应力恒等于零，中性轴一侧全为拉应力，另一侧全为压应力。
- 最大正应力：发生在离中性轴最远处的边缘，其计算公式为：
  $\sigma_{\max} = \frac{M}{W_z}$
  其中 $W_z = \frac{I_z}{y_{\max}}$ 称为抗弯截面模量（或抗弯截面系数）。
  - 矩形截面 ($B \times H$)：$W_z = \frac{1}{6}BH^2$。
  - 实心圆截面 ($d$)：$W_z = \frac{\pi d^3}{32}$。
适用条件与推广
- 严格适用于线弹性纯弯曲。
- 对于工程中常见的细长梁（跨度与截面高度比 $L/h > 5$），可直接推广应用于横力弯曲，计算误差很小。

正应力强度条件
梁的最大正应力 $\sigma_{\max}$ 不能超过材料的许用正应力 $[\sigma]$：
$\sigma_{\max} = \frac{M_{\max}}{W_z} \le [\sigma]$
切应力强度条件
梁的最大切应力（一般发生在中性轴处）不能超过材料的许用切应力 $[\tau]$：
$\tau_{\max} \le [\tau]$
非对称截面梁的特殊校核
- 对于拉压许用应力不同的材料（如脆性材料铸铁）且截面非对称（如T形截面）：
  - 危险截面不一定是弯矩最大的截面。
  - 必须分别计算最大正弯矩和最大负弯矩处，截面最上、最下边缘处的正应力值，进行双重拉、压应力强度校核。

在一根由铸铁（脆性材料，其抗拉能力远弱于抗压能力）制成的T形截面悬臂梁（一端固定、一端自由，受向下重载，上侧纤维受拉、下侧纤维受压）中。

为了充分利用材料的强度并保证结构安全：