7 应力强度 7.6 圆轴扭转的应力及强度计算

在 sources 中，研究圆轴扭转时的内部应力，是通过对表面变形的实验观察展开的：

变形观察：受扭前，在圆轴表面画上纵向线和圆周线。受扭变形后，各圆周线的大小、形状和间距均保持不变，仅绕轴线发生相对转动；各纵向线则倾斜了相同的微小角度。
平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，其形状和大小不变，横截面上的半径在变形后仍保持为直圆半径。
应力特性：由于圆周线间距不变，可推断横截面上无正应力（$\sigma = 0$）；由于纵向线发生倾斜，可推断横截面上只有切应力（$\tau$），其方向垂直于半径，且指向与扭矩转向一致。

由于圆轴扭转属于超静定问题，sources 指出其应力分析必须从几何、物理和静力学三个方面联合求解：

几何关系（变形分析）：
取长度为 $dx$ 的微段，相邻横截面产生的相对转角为 $d\phi$。距圆心任意距离 $\rho$ 处的切应变 $\gamma$ 为：
$\gamma = \rho \frac{d\phi}{dx} = \rho \theta$
其中 $\theta = \frac{d\phi}{dx}$ 称为单位长度扭转角，代表扭转变形的程度。该式表明横截面上的切应变与到圆心的距离 $\rho$ 成正比。
物理关系（物理本构）：
在材料的剪切弹性范围内，切应力与切应变满足剪切胡克定律：
$\tau = G \gamma = G \rho \frac{d\phi}{dx}$
（其中 $G$ 为材料的切变模量，单位为 $\text{GPa}$）。这说明横截面上任意点处的切应力同样与该点到圆心的距离 $\rho$ 成正比。
静力学关系（平衡条件）：
横截面上的分布内力对圆心集成的合力矩必须与截面扭矩 $M_T$ 平衡：
$M_T = \int_A \rho (\tau dA) = G \frac{d\phi}{dx} \int_A \rho^2 dA = G \frac{d\phi}{dx} I_p$
（其中 $I_p = \int_A \rho^2 dA$ 为横截面对圆心的极惯性矩）。
切应力计算公式：
联立上述三物理面分析，可消去未知的变化率，得到圆轴扭转切应力公式：
$\tau = \frac{M_T}{I_p} \rho$
- 分布特征：横截面上的切应力沿半径方向呈线性规律分布。圆心处（$\rho=0$）切应力为零；外边缘处（$\rho = R$）切应力达到最大值。

最大切应力公式：
$\tau_{\max} = \frac{M_T}{W_p}$
抗扭截面系数（$W_p$）：
$W_p = \frac{I_p}{\rho_{\max}}$
它是衡量截面抗扭几何能力的物理量：
- 实心圆轴：$W_p = \frac{\pi d^3}{16}$。
- 空心圆轴（内外套径比 $\alpha = d/D$）：$W_p = \frac{\pi D^3}{16} (1 – \alpha^4)$。
工程优化价值：由于圆轴内部的切应力呈内小外大的线性分布，将材料分布在外侧的空心圆轴具有更高的材料利用率和更轻的自重。sources 中的计算实例表明，在传递相同扭矩时，实心圆轴的材料用量竟达空心圆轴的 2.2 倍。

强度条件：
危险截面上的最大切应力 $\tau_{\max}$ 不能超过材料的许用切应力 $[\tau]$：
$\tau_{\max} = \frac{|M_{T,\max}|}{W_p} \le [\tau]$
(许用切应力 $[\tau] = \frac{\tau_0}{n}$，其中 $n$ 为安全系数；塑性材料的极限应力 $\tau_0$ 取屈服极限 $\tau_s$，脆性材料取强度极限 $\tau_b$)。
三大应用类型：
1. 强度校核：验证 $\tau_{\max} \le [\tau]$。若最大切应力超载在 5% 以内，工程上仍认为满足强度条件。
2. 设计截面尺寸：由 $W_p \ge \frac{|M_{T,\max}|}{[\tau]}$ 计算并确定轴径。
3. 确定许用载荷：由 $|M_{T,\max}| \le W_p \cdot [\tau]$ 反推轴能安全传递的最大外力偶或功率。

根据本节学过的切应力公式，圆轴在扭转时，轴心处的切应力恒等于零，而只有外表面处的材料承受最大的切应力。

请同学们结合这一力学规律思考以下问题：