第五章 高层建筑结构 5.3 联肢剪力墙分析模型微分方程

一、 核心概念与受力性能

• 联肢剪力墙：由一列或多列开洞形成的墙肢与连梁组成的剪力墙体系。由于洞口较大，整体截面不满足平截面假定。
• 外矩抵抗机制：外弯矩 $M_P$ 由两部分共同抵抗：
  $\mathbf{M_P = (M_{j1} + M_{j2}) + N_{j1} \cdot a}$
  (其中 $M_{j1}, M_{j2}$ 为墙肢单独承担的局部弯矩；$N_{j1} \cdot a$ 为墙肢轴力合成的整体弯弯弯矩)。
• 连梁刚度效应：连梁刚度（剪力）越大，墙肢轴力越大；由此合成的整体弯矩占比越高，墙肢局部弯矩反而越小。
• 应力与弯矩分布：
  • 墙肢正应力：由“轴力引起的均匀应力”与“弯矩引起的线性分布应力”代数叠加而成。
  • 墙肢弯矩图：因连梁端弯矩的存在，在楼层交界处发生弯矩突变，呈现锯齿状分布。

二、 连续化分析法及四大基本假定

为了克服不符合平截面假定的困难，引入连续化方法：将离散的连梁等效为沿墙高连续分布的弹性薄片，从而将联肢墙简化为连续体进行微分方程求解。

四大基本假定

三、 微分方程建立的核心步骤

1. 切口释放：将连续化的弹性薄片（连梁）从跨中切开（此处弯矩为 0，仅有剪力集度 $\tau$）。
2. 几何相容条件：在切口施加一对方向相反的竖向单位力，根据相对竖向位移为零建立方程（$\delta_1 + \delta_2 + \delta_3 = 0$）。相对位移由三部分组成：
   • $\delta_1$：墙肢弯曲变形引起的竖向相对位移。
   • $\delta_2$：墙肢轴向变形（拉伸/压缩）引起的竖向相对位移。
   • $\delta_3$：连梁本身弯曲和剪切变形引起的相对位移。
3. 二阶微分方程：将位移对 $z$ 连续微分两次，并代入外荷载与转角关系，建立关于未知力 $\tau$ 的二阶常系数微分方程。
   • 核心控制参数 $\alpha$：剪力墙整体性系数，反映了墙肢轴向变形和连梁刚度对结构整体性的影响。

四、 内力与侧移计算

• 内力反求：通过解微分方程求出剪力集度 $\tau(z)$，进而依次求出连梁剪力 $V_{bj}$、连梁端弯矩 $M_{bj}$、墙肢轴力 $N_{j}$（由连梁剪力累加）及墙肢弯矩 $M_{j1}, M_{j2}$。
• 侧移叠加：联肢墙顶点位移 $u$ 为墙肢弯曲侧移 $u_m$ 与剪切侧移 $u_v$ 的叠加。

💡 思考

若连梁的刚度无限大（或 $\alpha \to \infty$），联肢剪力墙的受力性能会退化为什么经典墙体模型？此时墙肢的正应力分布会发生什么变化？