5 杆件内力分析 5.3 扭矩与扭矩图

一、 核心概念厘清

1. 什么是扭矩（$M_T$）？

   • 定义：扭矩是受扭转变形杆件横截面上分布内力的合力。
   • 物理性质：它是一种内力偶。其力偶矩矢垂直于横截面，且与杆件的轴线重合。

2. 传动轴外力偶矩的计算

   • 背景：对于传递功率的转轴，工程中通常不直接给出外力偶矩，而是给定功率和转速。
   • 换算公式：根据单位时间内输入功与外力功相等的原则，换算公式为：
     $M = 9.55 \frac{P}{n}$
     • $P$：功率，单位为千瓦（$\text{kW}$）。
     • $n$：转速，单位为转/分（$\text{r/min}$）。
     • $M$：外力偶矩，计算所得单位为千牛·米（$\text{kN}\cdot\text{m}$）。

二、 扭矩的求解：截面法与符号约定

1. 求解扭矩的“截面法”四步走

与求解轴力一致，求解任意截面扭矩依然采用截面法：

• 结开：用假想截面在待求内力处将轴切开。
• 分离：任取左段或右段作为分离体（通常选择外力较少的一段），并画出其上受到的全部外力偶。
• 代替：在切口截面上施加 内力矩（扭矩 $M_T$） 以代替去掉部分的作用。
• 平衡：对分离体列写绕轴线（设为 $x$ 轴）的力矩平衡方程 $\sum M_x = 0$，从而求出未知扭矩。

2. 扭矩的正负号约定（右手螺旋法则）

为了使选择左段或右段作为研究对象时得到的内力符号完全一致，必须引入统一的符号约定：

• 判定方法：伸出右手，四指弯曲方向表示截面上扭矩的旋转方向，大拇指的指向若背离截面（指向截面的外法线方向），则扭矩为正（+）；反之，若大拇指指向截面内部，则扭矩为负（-）。
• 🔑 线上做题技巧：在列平衡方程前，一律先假定未知扭矩为正方向（即其右手螺旋的大拇指指向截面外法线）。若计算结果为正值，则实际为正扭矩；若为负值，则实际为负扭矩。

三、 扭矩图（$M_T$ 图）的绘制

• 物理意义：形象直观地表示扭矩沿轴线方向的分步与变化规律，是寻找**危险截面（最大扭矩截面）**的依据。
• 绘制步骤：
  1. 画基线：画一根与轴线平行的水平线作为基线。
  2. 分段绘图：纵坐标表示扭矩大小。习惯上将正的扭矩画在基线上方，负的扭矩画在基线下方。对于只受集中外力偶作用的轴，各段的扭矩为常数，其扭矩图是一条条平行于基线的水平直线。
  3. 封闭与标注：用垂直线段将图形两端与基线封闭，标上正负号（$\pm$）、数值，并注明图名 $M_T$ 图。

💬 思考

在一根受多个集中外力偶作用的圆轴中，如果我们沿着轴线从左向右绘制扭矩图：

1. 在有外力偶矩作用的截面处，扭矩图会发生什么有趣的几何变化？
2. 这个变化的数值大小与该截面处的外力偶矩有什么关系？请尝试结合“截面法”的平衡条件进行理论推导。