5 杆件内力分析 5.4 梁的内力

梁（Beam）：工程中以弯曲变形为主要变形的杆件。
横截面上的两种内力：
1. 剪力（$F_s$）：与横截面相切的内力。
2. 弯矩（$M$）：属于内力偶，其力偶矩矢量垂直于轴线、并与横截面相切。

为了使无论选择左段还是右段作为研究对象，所得的内力符号都完全一致，必须引入统一的符号约定：

内力类型	正号（+）判定标准	负号（-）判定标准	绘图投影约定
剪力（$F_s$）	使被切开的微段绕其内部任一点有顺时针方向转动趋势。	使微段绕其内部任一点有逆时针方向转动趋势。	正的剪力画在基线上方，负的画在下方。
弯矩（$M$）	使被切开的微段向下凸（即下侧纤维受拉，上侧纤维受压）。	使微段向上凸（即上侧纤维受拉，上侧纤维受压）。	土建专业约定：弯矩图一律画在受拉纤维的一侧。

截面法（基本方法）
- 遵循“结、分、代、平”四步法：用假想截面切开、取分离体、施加正方向的待定内力（将 $F_s$ 和 $M$ 均假定为正方向）、列静力平衡方程求解。
直接法（简便计算法）
- 直接求剪力：横截面上的剪力在数值上等于该截面任意一侧梁段上所有横向外力的代数和。
- 直接求弯矩：横截面上的弯矩在数值上等于该截面任意一侧梁段上所有外力对该截面形心之矩的代数和。
- 注：利用直接法可免去绘制分离体受力图的步骤，极大地简化了计算过程。

根据弯矩、剪力与分布载荷集度 $q$ 的微分关系：
$\frac{dF_s(x)}{dx} = q(x), \quad \frac{dM(x)}{dx} = F_s(x), \quad \frac{d^2M(x)}{dx^2} = q(x) \quad$

在绘制内力图（$F_s$ 图和 $M$ 图）时，可利用以下定性规律进行快速作图：

无外载荷梁段（$q=0$）：
- 剪力图为水平直线（常数）。
- 弯矩图为斜直线（若剪力恰好为零，则弯矩图为水平直线）。
均布载荷梁段（$q = \text{const}$）：
- 剪力图为斜直线。
- 弯矩图为二次抛物线，且抛物线的凸向与分布载荷 $q$ 的指向一致（例如向下均布载荷时，弯矩图向下凸）。
极值特征：
- 弯矩一阶导数等于剪力，故弯矩图的极值截面一定与剪力为零（$F_s=0$）的截面相对应。
特殊控制点的突变特征：
- 有集中力作用处：剪力图发生突变（跳跃），突变值等于该集中力的大小；弯矩图连续但不光滑，出现一个尖角，尖角朝向与集中力指向一致。
- 有集中力偶作用处：剪力图无变化；弯矩图发生突变（跳跃），突变值等于该集中力偶矩的大小。

在一根水平放置的简支梁上，某截面处受到一个数值向下的集中力 $F$ 的作用。请结合本节所学的内力图规律，思考并回答以下问题：

该截面左右两侧极邻近截面上的剪力之差（即 $F_{s, \text{右}} – F_{s, \text{左}}$）在数值上等于多少？两者的正负号是否可能相反？
该截面左右两侧极邻近截面上的弯矩数值是否相等？弯矩图在此处呈现的“尖角”在工程实际中有什么物理警示意义？