6 几何性质 6.1 形心和静矩

形心（Centroid）：平面图形的几何形状中心点。其位置仅与图形的形状和大小有关。
- 物理理解：若图形上作用有垂直于该图形的均布载荷，其合力作用点即为形心。
静矩（Static Moment，又称面积矩、一次矩）：
- 定义与计算：在正交坐标系 $zOy$ 中取微元 $dA$，其坐标为 $(y, z)$。微元面积与它到坐标轴的距离之积的积分即为静矩（如对 $y$ 轴的静矩表示为 $S_y = \int z dA$）。
- 物理理解：若将图形面积假想为垂直于图形的分布载荷，则静矩反映了该分布载荷对坐标轴的合力矩。
- 重要特征：静矩的大小与图形的形状、大小及坐标系位置密切相关；量纲为长度的三次方；同一图形对不同轴的静矩可能不同，且有正负之分。

核心公式：图形对某坐标轴的静矩，等于图形面积与形心坐标的乘积。
$S_z = A \cdot y_c, \quad S_y = A \cdot z_c$
- 反之，若已知静矩和面积，即可求得形心位置坐标：
  $y_c = \frac{S_z}{A}, \quad z_c = \frac{S_y}{A}$
三大关键定理与推论：
1. 形心轴特性：若平面图形对某轴的静矩为零，则形心到该轴的垂直距离为零（该轴必定通过形心，称为形心轴）。
2. 逆命题成立：图形对形心轴的静矩恒等于零。
3. 对称轴定理：若平面图形具有对称轴，则对称轴必定是形心轴，图形对该对称轴的静矩必定为零。

在实际工程中，许多复杂截面（如工字钢、不等边角钢等）均可视为由若干个形心位置已知的简单图形（如矩形、圆形、三角形）组合而成的组合图形。

计算公式：
$y_c = \frac{\sum A_i y_{ci}}{\sum A_i}, \quad z_c = \frac{\sum A_i z_{ci}}{\sum A_i}$
(其中 $A_i$ 为各简单图形的面积，$y_{ci}, z_{ci}$ 为其各自已知的形心坐标)。
经典工程实例：T型截面形心计算
- 划分简单图形：第一部分为翼缘（矩形 $A_1 = 0.6\,\text{m} \times 0.12\,\text{m}$）；第二部分为腹板（矩形 $A_2 = 0.4\,\text{m} \times 0.2\,\text{m}$）。
- 坐标系建立：设 $z$ 轴位于上底边，对称轴为 $y$ 轴（形心必在对称轴 $y$ 轴上，即 $z_c = 0$）。
- 单体形心距上底边距离：
  - $y_{c1} = \frac{0.12}{2} = 0.06\,\text{m}$
  - $y_{c2} = 0.12 + \frac{0.4}{2} = 0.32\,\text{m}$
- 组合形心位置：
  $y_c = \frac{A_1 y_{c1} + A_2 y_{c2}}{A_1 + A_2} = \frac{(0.6 \times 0.12) \times 0.06 + (0.4 \times 0.2) \times 0.32}{(0.6 \times 0.12) + (0.4 \times 0.2)} = 0.197\,\text{m}$

我们在计算T型或工字型等组合截面的形心位置时，通常需要先自主建立一个参考坐标系（例如将坐标轴设在图形的最顶边或最底边）。

请同学们结合本节所学思考：