3 力系简化 3.2 力矩

物理意义：度量力使物体绕某点（矩心）产生转动效应的物理量。转动的强弱不仅取决于力 $F$ 的大小，还与矩心 $O$ 到力作用线的垂直距离（力臂 $h$）成正比。
计算公式：
$M_O(F) = \pm F \cdot h$
正负号规定：通常约定使物体逆时针转动的力矩为正，顺时针转动的力矩为负。
核心性质：
1. 作用线通过矩心时，力臂 $h=0$，则该力对该矩心的力矩为零。
2. 力可以沿其作用线滑移，不改变对同一矩心的力矩。
3. 同一个力对不同矩心的力矩一般不同（因为力臂不同），因此谈及力矩时必须指明矩心。

力矩三要素：力矩的大小、力矩平面（或转轴）在空间中的方位、在力矩平面内的转动方向。
矢量表示：空间力对点之矩是一个定位矢量 $\vec{M}_O(\vec{F})$，其作用线通过矩心 $O$，方向垂直于力矩平面，指向按右手螺旋法则确定（四指弯曲方向表示力矩转向，大拇指指向即为力矩矢量的指向）。
矢量乘积公式：等于作用点相对于矩心的位置矢量（矢径）$\vec{r}$ 与力矢量 $\vec{F}$ 的矢量积（叉积）：
$\vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{r} \times \vec{F}$
解析计算：在直角坐标系中，可采用行列式展开式求其在各坐标轴上的分量：
$\vec{M}_O(\vec{F}) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x & y & z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$
展开后在 $x, y, z$ 轴上的投影（分量）分别为：
$M_x = yF_z – zF_y, \quad M_y = zF_x – xF_z, \quad M_z = xF_y – yF_x$

物理意义：度量力使物体绕某固定轴转动效应的物理量，是一个代数量。
计算方法：将力 $F$ 分解为平行于轴的分量 $F_z$（不产生绕轴转动效应）和垂直于该轴平面内的分量 $F_{xy}$。力对该轴之矩等于分量 $F_{xy}$ 对轴与平面交点 $O$ 的力矩：
$M_z(F) = \pm F_{xy} \cdot h$
力对轴之矩为零的条件：
当力的作用线与轴共面（即平行或相交）时，力对该轴之矩为零。
1. 平行：力在垂直于轴的平面内的投影分量 $F_{xy} = 0$，无法产生转动。
2. 相交：力到轴的垂直距离 $h = 0$，无法产生转动。

定理内容：力对某点之矩在通过该点的某轴上的投影，等于该力对该轴之矩。
应用意义：力对点的转动效应，等效于该力同时对通过该点且相互正交的三根轴转动效应的代数总和。在空间力学计算中，该定理常用于在“力对点之矩”与“力对轴之矩”之间进行便捷转换。

我们在日常生活中开门或拧螺丝时：

为什么当推力的作用线与门轴平行（例如向下垂直拉门把手），或者推力的作用线直接穿过门轴（如直推门轴）时，无论用多大的力，门都不会转动？请用“力对轴之矩为零的条件”解释其力学原理。
结合力对轴之矩的定义，要想用最小的力推开重门，推力的作用点和方向应该如何选择？