6 几何性质 6.2 惯性矩和惯性积

一、 平面图形的二次矩（定义与性质）

二次矩是用于衡量平面图形几何特性的物理量，其大小仅取决于图形的形状、尺寸和坐标系位置，与杆件的材料和受力情况无关。二次矩的量纲均为长度的四次方 ($L^4$)。

1. 惯性矩（Moment of Inertia）

   • 数学定义：
     • 对 $y$ 轴的惯性矩：$I_y = \int_A z^2 dA$
     • 对 $z$ 轴的惯性矩：$I_z = \int_A y^2 dA$
   • 符号特征：任何图形对任何坐标轴的惯性矩恒为正值。

2. 惯性积（Product of Inertia）

   • 数学定义：$I_{yz} = \int_A yz dA$
   • 符号特征：其积项 $yz$ 有正负之分，因此惯性积可正、可负，亦可为零。

3. 极惯性矩（Polar Moment of Inertia）

   • 数学定义：对坐标原点 $O$ 的极惯性矩：$I_p = \int_A r_0^2 dA$ （其中 $r_0$ 为微元到原点的距离）。
   • 符号特征：恒为正值。

二、 二次矩的核心代数定理

1. 极惯性矩与惯性矩的关系

   • 定理：平面图形对一对正交坐标轴的惯性矩之和，等于该图形对这两轴交点（原点）的极惯性矩。
   • 公式：
     $I_p = I_y + I_z$

2. 对称性定理

   • 定理：若两个正交坐标轴中，只要有一个或两个是图形的对称轴，则图形对该对坐标轴的惯性积必定等于零。

三、 常用工程截面的二次矩计算公式

四、 工程实际应用：强轴与弱轴

• 概念定义：对于矩形截面，当截面高度 $H$ 大于宽度 $B$ 时，其对 $z$ 轴的惯性矩 $I_z$ 更大。此时，$z$ 轴称为强轴，$y$ 轴称为弱轴。
• 工程设计原则：在工程实际中（尤其是房屋结构的梁），梁件通常都采用竖放的形式（即截面高度大于宽度）。这样做的物理目的就是为了增大惯性矩，从而提高梁的强度和刚度。

💬 思考

工字钢（I-beam）具有两个相互垂直的对称轴 $y$ 和 $z$。请结合本节课学过的“二次矩几何性质”和“强弱轴”的概念思考：

1. 工字钢对这一对对称轴的惯性积 $I_{yz}$ 等于多少？为什么？
2. 在房屋承重设计中，如果需要将工字钢用作水平横梁，我们应该将工字钢“工”字形直立放置，还是“工”字形横躺着放置？请简述你的受力分析和设计依据。