3 力系简化 3.1 力的投影与分解

一、 力在轴上与平面上的投影

在工程力学中，为了定量计算力对物体的作用效应，我们通常需要将力投影到轴线或平面上。

1. 力在轴上的投影（代数量）

   • 定义：力 $F$ 的起点与终点向轴线引垂线，所得垂足间线段的长度并冠以适当的正负号。
   • 正负号规定：若由起点垂足到终点垂足的指向与轴的正向一致取正号，反之取负号。
   • 计算公式：$F_n = F \cdot \cos\alpha$ （其中 $\alpha$ 为力与轴正向之间的夹角）。
   • 物理性质：力在轴上的投影是一个代数量，它没有方向和作用线。

2. 力在平面上的投影（矢量）

   • 定义：由力的起点垂足指向终点垂足的向量。
   • 大小计算：投影的大小等于力的大小乘以力与平面间夹角的余弦值。
   • 物理性质：力在平面上的投影是一个矢量。

二、 空间力向直角坐标轴投影的计算方法

根据已知夹角的不同，将空间力向直角坐标轴（$x, y, z$）投影有两种经典计算方法：

• 直接投影法

  • 适用条件：已知力 $F$ 与各坐标轴的正向夹角 $\alpha, \beta, \gamma$。
  • 公式：
    $F_x = F \cdot \cos\alpha, \quad F_y = F \cdot \cos\beta, \quad F_z = F \cdot \cos\gamma$

• 二次投影法

  • 适用条件：已知力 $F$ 与某一平面（如 $Oxy$）的夹角（纬度角 $\theta$），且该力在平面上的投影与另一坐标轴（如 $x$ 轴）的夹角（经度角 $\varphi$）。
  • 计算步骤：
    1. 先将力 $F$ 投影到 $Oxy$ 平面上，得到平面投影大小 $F_{xy} = F \cdot \cos\theta$。
    2. 再将平面投影 $F_{xy}$ 分别投影到 $x$ 轴和 $y$ 轴上。
  • 公式：
    $F_x = F \cdot \cos\theta \cdot \cos\varphi, \quad F_y = F \cdot \cos\theta \cdot \sin\varphi, \quad F_z = F \cdot \sin\theta$

三、 力的分解与投影的联系与区别

许多初学者容易混淆“力的分力”与“力的投影”，我们需要从数学和物理本质上进行严谨区分：

⚠️ 核心结论：

1. 力可以表示为直角坐标轴上分力的矢量和：$\vec{F} = F_x\vec{i} + F_y\vec{j} + F_z\vec{k}$。
2. 力的大小与方向余弦可直接通过直角坐标轴投影求得：$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$，$\cos\alpha = F_x / F$。
3. 利用投影求合力时，必须选择直角坐标系。

💬 思考

在斜坐标系中，力的分力大小和投影大小不再相等。请结合平行四边形法则和投影的几何定义，尝试用草图画出一个力在斜坐标轴上的分力与投影，并直观解释：为什么在非直角（斜）坐标系下，投影法求合力（即合力的投影等于各分力投影的代数和）会失效？这给我们在解决复杂工程受力问题时选择坐标系带来了什么启示？