第一章建筑结构概论 1.2 荷载的概率模型

概率分布：经现场实测分析，结构构件的自重属于永久荷载，采用随机变量模型描述，且服从正态分布。
统计参数：
- 均值：$\mu_G = 1.06 G_k$。
- 均方差：$\sigma_G = 0.074 G_k$。
- 注：$G_k$ 是按设计标注尺寸和规范材料重度计算得出的名义自重。
物理意义与保证率：
- 自重均值 $\mu_G$ 大于名义自重 $G_k$，反映出实际施工中构件尺寸通常存在正偏差（如超厚、超大），实际自重超重的情况多于偏轻的情况。
- 构件实际自重小于等于标准值 $G_k$ 的概率（即保证率）仅有 20.93%。这表明仅靠标准值设计是不安全的，必须在后续设计中通过荷载分项系数进行安全度调整。

由于楼面活荷载、风荷载和雪荷载等随时间显著变化，需采用随机过程模型进行定量描述。为了将其转化为设计所需的随机变量，引入了平稳二项随机过程。

四个基本假定：
- 等时段：将 50 年的设计基准期 $T$ 划分为 $r$ 个等长的时段 $\tau$（$T = r\tau$），使连续过程离散化。
- 两状态：在每个时段 $\tau$ 内，荷载只有“出现”（概率为 $p$）和“不出现”（概率为 $q = 1-p$）两种状态。
- 同分布：不同时段上只要荷载出现，其幅值的概率分布相同，即任意时点荷载概率分布函数 $F_{Q_i}(q)$。
- 相互独立：各时段的荷载幅值相互独立，且与荷载是否出现也相互独立。
三个统计要素：要完整描述该随机过程，需要获取时段长度 $\tau$、时段内荷载出现概率 $p$、以及任意时点概率分布函数 $F_{Q_i}(q)$。
任意时点概率分布：楼面均布活荷载、风荷载、雪荷载的任意时点分布通常服从极值 Ⅰ 型分布（Gumbel 分布）：
$F_{Q_i}(q) = \exp(-\exp(-\alpha(q-\beta)))$
其中 $\alpha$ 为尺度参数（$\alpha$ 越大，概率密度越向众值集中），$\beta$ 为众值（$\beta$ 增加，曲线整体右移）。

结构设计最关心的是设计基准期 $T$ 内可能发生的最大荷载 $Q_T$。通过平稳二项随机过程，可导出其最大值分布函数：

必定出现的可变荷载（$p=1$）：由于各时段相互独立，基准期内最大值不超过 $q$ 相当于每个时段都不超过 $q$，故分布函数为：
$F_{Q_T}(q) = [F_{Q_i}(q)]^r$
非必定出现的可变荷载（$p \neq 1$）：利用级数近似展开，其最大值分布函数可表示为：
$F_{Q_T}(q) \approx [F_{Q_i}(q)]^m$（其中 $m = pr$ 为设计基准期内荷载的平均出现次数）。
分布特征：最大荷载 $Q_T$ 同样服从极值 Ⅰ 型分布。其尺度参数 $\alpha_T = \alpha$ 保持不变，而众值 $\beta_T$ 会随着时段数 $r$ 或出现次数 $m$ 的增加而增大（$\beta_T = \beta + \ln(r)/\alpha$ 或 $\beta + \ln(m)/\alpha$）。这符合“时间越长，遭遇更大荷载概率越高”的物理规律。

持久性与临时性活荷载组合：住宅或办公室的楼面活荷载在实际应用中被拆分为持久性活荷载 $L_i$（如家具等，属于必定出现 $p=1$，在 50 年内取 $\tau = 10$ 年，$r=5$）和临时性活荷载 $L_{rs}$（如临时集聚人员等，平均出现次数 $m=5$）。设计基准期内的楼面最大活荷载 $L_T$ 取其中一个的基准期最大值与另一个的任意时点瞬时值之和（即 $L_T = L_{iT} + L_{rs}$ 或 $L_T = L_{rsT} + L_i$）。
荷载规范演变：原 87 版《荷载规范》中住宅楼面活荷载标准值为 $1.5\text{ kN/m}^2$（保证率为 92.1%），而现行《荷载规范》已提高至 $2.0\text{ kN/m}^2$（保证率提高到了 99%）。
可变荷载的四种代表值：
- 标准值 $Q_k$：基本代表值，设计基准期内可能出现的最大荷载值，由基准期最大荷载概率分布的某个分位值确定。
- 组合值 $\psi_c Q_k$：用于承载能力极限状态的多荷载效应组合，使组合后的超越概率与单出荷载时一致。
- 频遇值 $\psi_f Q_k$：在基准期内被超越的总时间仅占一小部分（如 10%）的荷载值，用于局部损坏或疲劳破坏验算。
- 准永久值 $\psi_q Q_k$：在基准期内被超越的总时间达到一半（50%）的荷载值（相当于经常作用的均值荷载），用于长期效应验算。